Logaritmos

Na Matemática, o logaritmo de base b, maior que zero e diferente de 1, é uma função de domínio e imagem , bijetora e contínua que retorna o expoente na equação bn = x. Usualmente é escrito como logb x = n. Por exemplo: . Em termos simples o logaritmo é o expoente que uma dada base deve ter para produzir certa potência. No último exemplo o logaritmo de 81 na base 3 é 4, pois 4 é o expoente que a base 3 deve usar para resultar 81.

O logaritmo é uma de três funções intimamente relacionadas. Com bn = x, b pode ser determinado utilizando radicais, n com logaritmos, e x com exponenciais.

Um antilogaritmo é usado para mostrar o inverso de um logaritmo. Ele é escrito da seguinte maneira: antilogb(n) e significa o mesmo que bn.

Um logaritmo duplo é a inversa da exponencial dupla. Um super-logaritmo ou hiper-logaritmo é a inversa da função super-exponencial. O super-logaritmo de x cresce ainda mais lentamente que o logaritmo duplo para x grande.

Um logaritmo discreto é uma noção relacionada na teoria finita de grupos. Para alguns grupos finitos, acredita-se que logaritmo discreto seja muito difícil de ser calculado, enquanto exponenciais discretas são bem fáceis. Esta assimetria tem aplicações em criptografia.

Logaritmos e exponenciais: inversas

Para cada base (b em bn), existe uma função logaritmo e uma função exponencial; elas são as funções inversas. Com bn = x:

Exponenciais determinam x quando dado n; para encontrar x, se multiplica b por b (n) vezes.
Logaritmos determinam n quando dado x; n é o número de vezes que x precisa ser dividido por b para se obter 1.
Para diferenciar o gráfico da função logarítmica do gráfico da função exponencial, pode-se utilizar a Regra da Mão Direita.

Usando logaritmos:
Usando logaritmos

Três curvas para três bases diferentes: b = 2 (curva amarela), b = e (curva vermelha) e b = 0,5 (curva azul).
Uma função logb(x) é definida quando x é um número real positivo e b é um número real positivo diferente de 1. Veja identidades logarítmicas para várias leis que definem as funções logarítmicas. Logaritmos podem também ser definidos para argumentos complexos. Isso é explicado na página do logaritmo natural.

Para inteiros b e x, o número logb(x) é irracional (i.e., não é um quociente de dois inteiros) se b ou x possui um fator primo que o outro não possui (e em particular se eles são co-primos e ambos maiores que 1). Em alguns casos este fato pode ser provado rapidamente: por exemplo, se log23 fosse racional, ter-se-ia log23 = n/m para alguns inteiros positivos n e m, implicando que 2n = 3m. Mas essa última identidade é impossível, uma vez que 2n é par e 3m é ímpar.


[Bases não especificadas
Matemáticos geralmente entendem "ln(x)" ou "log(x)" como significando loge(x), i.e., o logaritmo natural de x, e escrevem "log10(x)" se o logaritmo na base-10 de x é procurado.
Engenheiros, biólogos e outros escrevem apenas "ln(x)" ou (ocasionalmente) "loge(x)" quando se trata do logaritmo natural de x, e tomam "log(x)" para log10(x) ou, no contexto da computação, log2(x).
Algumas vezes Log(x) (L maiúsculo) é usado significando log10(x), pelas pessoas que usam log(x) com l minúsculo significando loge(x).
A notação Log(x) também é usada pelos matemáticos para se referir ao ramo principal da função logaritmo natural.
Nas linguagens de programação mais usadas, incluindo C, C++, Pascal, Fortran e BASIC, "log" ou "LOG" significa o logaritmo natural.
A maior parte das razões para se pensar em logaritmos na base 10 tornaram-se obsoletas logo após 1970 quando calculadoras de mão se tornaram populares (para mais sobre esse assunto, veja logaritmo comum). Não obstante, uma vez que calculadoras são feitas e normalmente usadas por engenheiros, as convenções usadas por eles foram incorporadas nas calculadoras, agora a maioria dos não-matemáticos tomam "log(x)" como o logaritmo na base 10 de x e usam "ln(x)" para se referir ao logaritmo natural de x. A notação "ln" foi introduzida em 1893 por Irving Stringham, professor de matemática da Universidade de Berkeley. Até 2005, alguns matemáticos adotaram a notação "ln", mas a maioria usa "log". Em Ciência da Computação o logaritmo na base 2 é escrito como lg(x) para evitar confusão. Este uso foi sugerido por Edward Reingold e popularizado por Donald Knuth.

Quando "log" é escrito sem uma base (b faltando em logb), o significado pode normalmente ser determinado através do contexto:

logaritmo natural (loge) em Análise;
logaritmo binário (log2) com intervalos musicais e em assuntos que lidam com bits;
logaritmo comum (log10) quando tabelas de logaritmos são usadas para simplificar cálculos manuais;
logaritmo indefinido quando a base é irrelevante.

 O link abaixo mostra uma música criada por um  professor falando sobre  logaritmos.

 http://www.youtube.com/watch?v=MJEsL4P3LTk